背包问题

题意:给出背包的容量,以及一批物品的价值和大小,求最大价值。

01背包问题

题意

每个物品只能放入一次。

思路

f[i][v]表示,第i个大小为v的物品放入时的总价值。
c[i]表示第i个物品的价值。w[i]为第i个物品的大小。
状态转移方程:f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+c[i]);
状态转移方程表示,取放入或者不放入第i个物品两种情况的最大值。

空间优化(滚动数组)

初始状态方程的空间复杂度是O(V*W),可以进一步优化。
可以将空间优化为O(2*W),即纵向大小为2。

for(i=1; i<=N; i++){
  for(j=t[i]; j<=V; j++)
    f[t^1][j] = max(f[c][j-w[i]]+c[i], f[t][j]);
  t ^= 1;
}

异或滚动可以在0和1之间切换,可以利用上下反复更新。

空间优化(一维数组)

既然可以用两行进行更新,那为什么不能用一行。
观察问题,两行更新时,用上一行的前部分更新下一行的后部分。
所以单行更新时要从后往前遍历,这样可以用前面的更新后面的。

for(i=1; i<=N; i++)
  for(j=V; j>=w[i]; j--)
    f[j] = max(f[j-w[i]]+c[i], f[j]);

这样就可以用一维数组来进行更新。
可以写成函数,封装起来。

void ZeroOnePack(int cost, int weight){
    for(int i=V; i>=weight; i++)
        f[i] = max(f[i], f[i-weight]+cost)
}

初始化的细节问题

一般问题会有两种问法:

  1. 刚好装满背包
  2. 不用装满背包 如果是第一种,f[0]=0,f[1]……f[N]=INF; 如果是第二种,f[0]……f[N]=INF; 理解: 如果是第一种,初始状态只有0符合理想状态,只有0才能被空“装满”。 如果是第二种,所有都符合理想状态。

完全背包问题

题意

和01背包相似,所不同的是可取的物品数是无限。

前置小优化

对于ij两个物品,如果c[i]>c[j] && w[i]<w[j],就舍去i物品。
另外,针对背包问题而言,比较不错的一种方法是:首先将重量大于V的物品去掉,然后使用类似计数排序的做法,计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个,可以O(V+N)地完成这个优化。

基本思路

状态转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]},(0<=k*w[i]<=V)

转化为01背包求解

一件物品最多只能放V/c[i]件,所以可以把一件物品,看成V/c[i]件物品,作为01背包解答。
另一种更好的办法是把第i种物品拆成大小为w[i]*2^k、价值为c[i]*2^k的若干件物品,其中k满足w[i]*2^k<=V。这是二进制的思想,因为不管最优策略选几件第i种物品,总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log(V/w[i]))件物品,是一个很大的改进。

O(VN)算法

for(int i=1; i<=N; i++)
    for(int j=w[i]; j<=V; j++)
        f[j] = max{f[v], f[v-w[i]]+c[i]};

这个算法和之前的01背包相比只是第二层的遍历方向改变了。因为01背包要保证每个物品只能选择一次,但是完全背包不必,所以改变遍历方向就可以得到结果。
这个算法也可以从另外的思路中得出,例如,基本思路中的公式可以化作这个形式:f[i][v]=max(f[i-1][v], f[i][v-w[i]]+c[i]);
用函数封装:

void CompletePack(int cost, int weight){
    for(int i=weight; i<=V; i++)
        f[i] = max(f[i], f[i-weight]+cost);
}

多重背包问题

题意

每件物品数量不一定为1但有限。

基本思路

问题和完全背包很相似。
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[I]}(0<=k<=n[I])
复杂度为O(V*Σn[i])

转化为01背包问题

n[i]存储,可以将每种物品转化为n[i]件物品,然后用01背包方案求解。复杂度不变。
如果要进行优化的话,依然用二进制思想,同上。
这样可以将时间优化为O(V*Σlog n[i])

void MultiplePack(int weight, int cost, int amount){
    if(cost * amount >= V){
        CompletePack(cost, weight);
        return;
    }
    int k = 1;
    while(k < num){// num 为物品种数
        ZeroOnePack(k*cost, k*weight);
        amount = amount-k;
        k *= 2;
    }
    ZeroOnePack(amount*cost, amount*weight);
}